Distribuciones Chi-cuadrado, F de Fisher y t de Student en la regresión ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos

Distribuciones Chi-cuadrado, F de Fisher y t de Student en la regresión

1 de Diciembre de 2008 ·

Vamos a dedicar este post a presentar las definiciones de las distribuciones Chi-cuadrado, F de Fisher-Snedecor y t de Student así como a enunciar un par de teoremas -para los que proporcionaremos su demostración a través de un vínculo externo-. Estas definiciones y teoremas se utilizarán en los siguientes posts.

Definición de chi-cuadrado

Si para todo $i$ , $u_{i}$ sigue una distribución normal con media 0 y varianza 1 entonces $\sum_{i=1}^n u_i^2 = u^t u$ sigue una distribución chi-cuadrado con $n$ grados de libertad. Esto lo expresamos del siguiente modo: $u^t u =\chi_n^2$ .

Teorema

Sean $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$ variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, con media 0 y varianza comun $\sigma^2$ . Entonces, $\sigma^{-2} u^t A u$ , donde $A$ es una matriz simétrica, sigue una distribución chi-cuadrado de $r=tr(A)$ grados de libertad si y sólo si $A$ es una matriz idempotente.

Demostración

Teorema

Sean $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$ variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, con media 0 y varianza común 1. Sean, además $u^t A_1 u$ y $u^t A_2 u$ con $A_1$ y $A_2$ matrices simétricas de dimensión $nxn$ . Entonces $u^t A_1 u$ y $u^t A_2 u$ son independientes si y sólo si $A_1 A_2=0$ .

Demostración

Definición de distribución F de Fisher-Snedecor

Si $u$ y $v$ son variables aleatorias independientes que se distribuyen como sendas chi-cuadrado de $m$ y $n$ grados de libertad respectivamente, entonces $\frac{\left( {\frac{u}{m} } \right)}{\left( { \frac{v}{n} } \right)}$ sigue una distribución F de Fisher de $m$ grados de libertad en el numerador y $n$ grados de libertad en el denominador.

Definición de distribución t de Student

Si $z$ es una variable aleatoria con distribución normal de media 0 y varianza 1 y $v$ es otra variable aleatoria, independiente de $z$ con distribución $\chi_n^2$ entonces $t_n = \frac{z}{\sqrt{\frac{v}{n}}}$ sigue una distribución t de Student de $n$ grados de libertad.

Relación entre las distribuciones t y F

Como ${t_n}^2 = \frac{z^2}{\frac{v}{n}}$ se deduce que si $x$ es una variable con una distribución t de Student de $n$ grados de libertad, entonces $x^2$ sigue una distribución F de Fisher con un grado de libertad en el numerador y $n$ en el denominador.

Etiquetado con chi-cuadrado, chi-square, distribuciones estadísticas, F de Fisher, Fisher's F, independent variables, normal, statistical distributions, Student's t, t de Student, variables independientes

Un comentario »

La distribución de las sumas de cuadrados de residuos ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

1 de 1 de 2008 @ 3:43 pm

[...] aplicando el primer teorema presentado en el post anterior, podemos afirmar [...]

Análisis y comunicación de datos cuantitativos