Los rangos de A y de A’A coinciden

5 de noviembre de 2008 · Imprimir Imprimir

Después de lo visto en el post anterior -sobre el teorema de rango-nulidad- es trivial demostrar que dada una matriz cualquiera A de dimensión (n,p) su rango y el de A^t A coinciden.

En primer lugar debemos darnos cuenta de que el número de columnas de A y de A^tA es el mismo -p- por lo que:

\rho(A)+null(A)=\rho(A^t A)+null(A^tA)=p

Sería suficiente con que las respectivas dimensiones de los núcleos de A y de A^tA fueran iguales para concluir que los rangos también coinciden. Pues bien, no sólo las dimensiones coinciden sino que los propios núcleos también coinciden.

En efecto, sea x \in ker(A). Por la propia definición de núcleo de una matriz tendremos que Ax=0 y de aquí se deduce inmediatamente que A^t Ax=0 es decir, x \in ker(A^t A). Por lo tanto ker(A) \subset ker(A^t A).

Recíprocamente, sea x \in ker(A^t A). Nuevamente, por la definición de núcleo de una matriz resulta que A^t A x=0 y, por tanto, x^t A^t A x=0. Pero x^t A^t A X = {\|AX \|}^2, con lo que Ax=0 y x \in ker(A). Por tanto, ker(A^t A) \subset ker(A).

Como ker(A) \subset ker(A^t A) y ker(A^t A) \subset ker(A) resulta que ker(A^t A) = ker(A) y null(A^t A)=null(A) de donde resulta que \rho(A^t A) = \rho(A).

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Un comentario »

  1. Más condiciones para el modelo de regresión múltiple ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    5 de 5 de 2008 @ 8:42 am

    [...] del hecho -fácilmente comprobable- de que dada una matriz cualquiera , el rango de y el de coinciden, es sencillo comprobar que [...]

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