Análisis y comunicación de datos cuantitativos

Si una matriz es semidefinida positiva entonces todos los elementos de su diagonal principal son no negativos. Esta afirmación será de utilidad más adelante, cuando se presente el teorema de Gauss-Markov y se puede demostrar por reductio ad absurdum o pueba indirecta.

En efecto, supongamos que la matriz es semidefinida positiva y que el i-ésimo elemento de la diagonal principal -es decir, - es negativo . En ese caso, consideremos el vector cuyos elementos son todos nulos salvo el que ocupa la posición i-ésima, que es igual a 1. Entonces tendremos que:

y como es negativo hemos encontrado un vector tal que es negativo por lo que resulta que la matriz no es semidefinida positiva, lo cual es absurdo.

Esto nos lleva a concluir que no es posible que una matriz semidefinida positiva tenga valores negativos en su diagonal principal por lo que podemos afirmar que todos los elementos de la diagonal principal de una matriz semidefinida positiva son no negativos.