Este post lo vamos a dedicar a demostrar el siguiente teorema, que resultará de utilidad más adelante:
Sea el espacio vectorial euclídeo 
y en él, dos conjuntos de vectores 
y 
con 
. Si llamamos 
a la matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el espacio generado por el conjunto de vectores y 
a la matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el espacio generado por el conjunto resulta que, 
:
Comencemos por demostrar la primera afirmación. 
si y sólo si 
es decir si y sólo si 
. Esto es equivalente a afirmar que 
es ortogonal a lo cual es cierto ya que es ortogonal a y .
Respecto a la segunda afirmación, 
si y sólo si 
. Por otra parte, si llamamos 
a la matriz cuyas columnas son los vectores del conjunto tendremos, dado que 
es combinación lineal de los vectores de -y por tanto de los vectores de -, que 
, siendo 
un vector de orden (k,1), con k igual al número de vectores en el conjunto .
Uniendo estas dos expresiones tendremos que:
pero como la matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el espacio columna de la matriz -matriz a la que hemos llamado - es:
tenemos que:
Desarrollando el producto nos queda:
con lo que se demuestra que:
y que, por tanto:
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