Dada una matriz se llama de al subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores que conforman las columnas de la matriz . La de este subespacio coincide con el de la matriz . Además, si es una matriz cualquiera, la de es .
En este post vamos a justificar esta afirmación.
Sea y sea un conjunto de k vectores de . A continuación dispongamos los mencionados k vectores como las columnas de una matriz . Deseamos encontrar una matriz -a la que llamaremos - que convierte el vector en su proyección ortogonal sobre el espacio columna de la matriz . Es decir, deseamos encontrar tal que sea la proyección ortogonal de en .
Como se trata de una proyección ortogonal sobre , el vector debe ser ortogonal a y, en particular, debe ser ortogonal a las columnas de la matriz por lo que . Desarrollando la anterior ecuación llegamos a que .
Por otra parte, -es decir, es combinación lineal de las columnas de la matriz - por lo que se puede expresar en la forma siendo un vector de orden (k,1).
Sustituyendo en la expresión anterior llegamos a que y despejando tendremos que .
Por último, como resulta que con lo que la matriz que transforma en su proyección ortogonal sobre es .
Supongamos que la matriz M tiene m filas y n columnas. Entonces, el rango de la matriz M es como mucho min(m,n) y como las matrices M y M’M tienen el mismo rango resulta que:
- M’M tiene dimensión (n,n) y rango menor o igual que min(m,n)
Podemos distinguir dos casos:
Caso I: m>=n
- M’M tiene dimensión (n,n) y rango menor o igual que n. Esta matriz será invertible si y sólo si su rango es n, lo que ocurrirá cuando todas las columnas de la matriz M sean linealmente independientes.
Caso II: n>m
- M’M tiene dimensión (n,n) y rango menor o igual que m. Como m es menor que n, esta matriz nunca será de pleno rango y, por tanto, no es invertible.
En resumen, para que M’M sea invertible deben cumplirse las siguientes dos condiciones:
1) El número de filas de M tiene que ser mayor o igual que el número de columnas.
2) Las n columnas de M, consideradas como vectores m-dimensionales, tienen que formar un conjunto linealmente independiente.
En cualquier caso, si las columnas de la matriz M formaran un conjunto linealmente dependiente, podríamos eliminar aquellas columnas de M que causen la dependencia lineal y llegaríamos a una matriz (llamémosla N) que generaría el mismo espacio columna que la matriz original M. Esta matriz N cumpliría que N’N es invertible.
Muchísimas gracias Juanjo! Necesitaría las demostraciones del primer y segundo teorema fundamental del Álgebra Lineal. En que libro podría encontrarlas? Tienes idea? De nuevo muchas gracias!
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se llama de
.
Andre ha dicho,
16 de 16 de 2010 @ 6:58 am
Muy claro, la unica duda que me quedó es si M’M es siempre inversible, siendo M’ la traspuesta de M.
Muchas gracias, un fuerte abrazo!
Juanjo ha dicho,
16 de 16 de 2010 @ 7:44 am
Hola Andre:
Supongamos que la matriz M tiene m filas y n columnas. Entonces, el rango de la matriz M es como mucho min(m,n) y como las matrices M y M’M tienen el mismo rango resulta que:
- M’M tiene dimensión (n,n) y rango menor o igual que min(m,n)
Podemos distinguir dos casos:
Caso I: m>=n
- M’M tiene dimensión (n,n) y rango menor o igual que n. Esta matriz será invertible si y sólo si su rango es n, lo que ocurrirá cuando todas las columnas de la matriz M sean linealmente independientes.
Caso II: n>m
- M’M tiene dimensión (n,n) y rango menor o igual que m. Como m es menor que n, esta matriz nunca será de pleno rango y, por tanto, no es invertible.
En resumen, para que M’M sea invertible deben cumplirse las siguientes dos condiciones:
1) El número de filas de M tiene que ser mayor o igual que el número de columnas.
2) Las n columnas de M, consideradas como vectores m-dimensionales, tienen que formar un conjunto linealmente independiente.
Espero que te sirva.
Juanjo ha dicho,
16 de 16 de 2010 @ 7:54 am
En cualquier caso, si las columnas de la matriz M formaran un conjunto linealmente dependiente, podríamos eliminar aquellas columnas de M que causen la dependencia lineal y llegaríamos a una matriz (llamémosla N) que generaría el mismo espacio columna que la matriz original M. Esta matriz N cumpliría que N’N es invertible.
Andre ha dicho,
18 de 18 de 2010 @ 9:00 am
Muchísimas gracias Juanjo! Necesitaría las demostraciones del primer y segundo teorema fundamental del Álgebra Lineal. En que libro podría encontrarlas? Tienes idea? De nuevo muchas gracias!
Juanjo ha dicho,
18 de 18 de 2010 @ 9:13 am
A lo mejor te sirve este enlace de la Wikipedia:
Un libro excelente (y sencillo a la vez) es el de Gilbert Strang, que se cita al final de la entrada de Wikipedia a la que te remito.
Espero que te sirva.
Juanjo ha dicho,
18 de 18 de 2010 @ 9:20 am
También tienes este documento de Gilbert Strang:
Saludos.
Andre ha dicho,
19 de 19 de 2010 @ 1:23 pm
Muchas gracias Juanjo, voy a ver de que se trata y espero entender algo!
Un abrazo!