Decíamos en el post anterior que:
Dada una matriz 
se llama subespacio columna de al subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores que conforman las columnas de la matriz . La dimensión de este subespacio coincide con el rango de la matriz . Además, si es una matriz cualquiera, la matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el subespacio columna de es 
.
En este post vamos a justificar esta afirmación.
Sea 
y sea 
un conjunto de k vectores de 
. A continuación dispongamos los mencionados k vectores como las columnas de una matriz . Deseamos encontrar una matriz -a la que llamaremos 
- que convierte el vector en su proyección ortogonal sobre el espacio columna de la matriz . Es decir, deseamos encontrar tal que 
sea la proyección ortogonal de en 
.
Como se trata de una proyección ortogonal sobre , el vector 
debe ser ortogonal a y, en particular, debe ser ortogonal a las columnas de la matriz por lo que 
. Desarrollando la anterior ecuación llegamos a que 
.
Por otra parte, 
-es decir, es combinación lineal de las columnas de la matriz - por lo que se puede expresar en la forma 
siendo 
un vector de orden (k,1).
Sustituyendo en la expresión anterior llegamos a que 
y despejando tendremos que 
.
Por último, como resulta que 
con lo que la matriz que transforma 
en su proyección ortogonal sobre es 
.
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