Matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el subespacio columna de una matriz

18 de Octubre de 2008 · Imprimir Imprimir

Decíamos en el post anterior que:

Dada una matriz M se llama subespacio columna de M al subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores que conforman las columnas de la matriz M. La dimensión de este subespacio coincide con el rango de la matriz M. Además, si M es una matriz cualquiera, la matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el subespacio columna de M es M(M^t M)^{-1} M^t.

En este post vamos a justificar esta afirmación.

Sea Y \in R^n y sea \{X_1, \ldots, X_k \} un conjunto de k vectores de R^n. A continuación dispongamos los mencionados k vectores como las columnas de una matriz M. Deseamos encontrar una matriz -a la que llamaremos H_M- que convierte el vector Y \in R^n en su proyección ortogonal sobre el espacio columna de la matriz M. Es decir, deseamos encontrar H_M tal que H_M Y sea la proyección ortogonal de Y \in R^n en C(M).

Como se trata de una proyección ortogonal sobre C(M), el vector H_M Y -Y debe ser ortogonal a C(M) y, en particular, debe ser ortogonal a las columnas de la matriz M por lo que M^t (H_M Y - Y)=0. Desarrollando la anterior ecuación llegamos a que M^t H_M Y = M^t Y.

Por otra parte, H_M Y \in C(M) -es decir, es combinación lineal de las columnas de la matriz M- por lo que se puede expresar en la forma H_M Y = M C siendo C un vector de orden (k,1).

Sustituyendo en la expresión anterior llegamos a que M^t MC = M^t Y y despejando C tendremos que C=(M^t M)^{-1} M^t Y.

Por último, como H_M Y = M C resulta que H_M Y = M (M^t M)^{-1} M^t Y con lo que la matriz que transforma Y en su proyección ortogonal sobre C(M) es H_M = M (M^t M)^{-1} M^t .

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