Otras estimaciones insesgadas de la varianza de los errores

20 de Noviembre de 2008 · Imprimir Imprimir

En un post anterior tratamos el comportamiento aleatorio de la suma de cuadrados de los residuos. En aquel entonces, no teníamos noticia de la posibilidad de incluir restricciones al modelo así que estudiamos el caso de la suma de cuadrados de los residuos en un modelo libre, es decir, SCR= e^t e.

Vimos que e^t e= \varepsilon^t M \varepsilon y que el valor esperado de la suma de cuadrados de los residuos era igual a:

E[e^t e] =\sigma^2 tr(M) = (n-k-1) \sigma^2

De aquí se deducía que:

\displaystyle {s^2= \frac{e^t e}{n-k-1}}

es un estimador insesgado de la varianza de los errores.

Posteriormente hemos deducido que, en el caso de que existan restricciones sobre los parámetros del modelo, la suma de los cuadrados de los residuos viene dada por:

SCR_C= {e_C}^t e_C = \varepsilon^t (M+P) \varepsilon

Siguiendo un razonamiento análogo al que se siguió en este otro post, deducimos que:

E[{e_C}^t e_C] =\sigma^2 tr(M+P) = [n-k-1+tr(P)] \sigma^2

Es muy fácil comprobar que la traza de P es:

tr(P)=m

En efecto,

P = X (X^t X)^{-1} C^t [C (X^t X)^{-1} C^t]^{-1} C (X^t X)^{-1} X^t

por lo que

tr(P) = tr \{ C (X^t X)^{-1} X^tX (X^t X)^{-1} C^t [C (X^t X)^{-1} C^t]^{-1} \} = tr(I_m)=m

Así, tendremos que:

E[{e_C}^t e_C] =\sigma^2 tr(M+P) = [n-k-1+m] \sigma^2

y

\displaystyle {{s_C}^2= \frac{{e_C}^t e_C}{n-k-1+m}}

será un estimador insesgado de la varianza de los errores.

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2 comentarios »

  1. Otras formas de comparar modelos ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    20 de 20 de 2008 @ 5:05 pm

    [...] compara dos estimaciones de la varianza de los errores: la que se obtiene en el modelo libre — y la que se obtiene en el modelo restringido –. Aunque el denominador de -que es - es menor que el de - que es - cabe esperar que sea menor [...]

  2. La distribución de las sumas de cuadrados de residuos ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    1 de 1 de 2008 @ 3:46 pm

    [...] Ya hemos visto que las sumas de cuadrados de residuos son variables aleatorias. En efecto, consideremos, por ejemplo, la suma de cuadrados de los residuos en un modelo sin restricciones . Sabemos que: [...]

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