Relación entre los índices de comparación de modelos

24 de Noviembre de 2008 · Imprimir Imprimir

Como se ha comentado en el post anterior, existen al menos tres formas alternativas de comparar entre sí modelos anidados. Las hemos llamado R^2_{\Omega,\omega}, \bar{R^2}_{\Omega, \omega} y F_{\Omega,\omega}.

Vamos a dedicar el actual post a estudiar las relaciones que existen entre estos tres índices.

Comenzamos con la pareja F_{\Omega,\omega} y R^2_{\Omega,\omega} -a las que, para aligerar la notación, llamaremos F y R^2-. Tenemos que:

F = \displaystyle{\frac {n-k-1}{m} \frac {\triangle SCR}{SCR}}

y que

\displaystyle{R^2 = \frac{\triangle SCR}{SCR_C}}

A partir de esta última expresión es fácil ver que:

\displaystyle{\frac{R^2}{1-R^2} = \frac{\triangle SCR}{SCR}}

de donde se deduce que:

\displaystyle{F_{\Omega,\omega} = \frac{n-k-1}{m} \frac{R^2_{\Omega,\omega}}{1-R^2_{\Omega,\omega}}}

expresión, esta última, que nos permite calcular F_{\Omega,\omega} a partir del conocimiento de R^2_{\Omega,\omega}

Ahora, partiendo de esta relación vemos que

\displaystyle{mF-mFR^2=(n-k-1)R^2}

lo que nos lleva a

\displaystyle{mF=R^2 (n-k-1+mF)}

de donde es fácil deducir que:

\displaystyle{R^2_{\Omega,\omega} = \frac{m F_{\Omega,\omega}}{n-k-1+m F_{\Omega,\omega}}}

Continuemos con la pareja \bar{R^2}_{\Omega,\omega} y R^2_{\Omega,\omega}. Sabemos que:

\displaystyle{\bar{R^2}_{\Omega,\omega} = 1 - \frac{\frac{SCR}{n-k-1}}{\frac{SCR_C}{n-k-1+m}}}

y que:

\displaystyle{R^2 = \frac{\triangle SCR}{SCR_C} = 1 - \frac{SCR}{SCR_C}}

por lo que:

\displaystyle{\bar{R^2} = 1 - \frac{n-k-1+m}{n-k-1} \left( 1-R^2 \right)}

o, de modo equivalente:

\displaystyle{\frac{n-k-1+m}{n-k-1} \left( 1-R^2 \right) = \left( 1- \bar{R^2} \right)}

A partir de esta expresión podemos despejar fácilmente tanto R^2 como \bar{R^2}. Comencemos por R^2. Tenemos que:

\displaystyle{n-k-1+m - \left( n-k-1+m \right ) R^2 = n-k-1- \left( n-k-1 \right) \bar{R^2}}

y, por tanto:

\displaystyle{m + \left( n-k-1 \right) \bar{R^2} = \left( m+ n-k-1 \right) R^2}

En consecuencia:

\displaystyle{R^2_{\Omega,\omega} = \frac{m + \left( n-k-1 \right) \bar{R^2}_{\Omega,\omega}}{m+n-k-1}}

Partiendo nuevamente de:

\displaystyle{m + \left( n-k-1 \right) \bar{R^2} = \left( m+ n-k-1 \right) R^2}

podemos despejar \bar{R^2}.

\displaystyle{\bar{R^2}= \frac{\left( m+n-k-1 \right) R^2-m}{n-k-1}= \frac{m \left(R^2-1 \right)+ \left( n-k-1 \right)R^2}{n-k-1}}

Se deduce, por tanto, que:

\displaystyle{\bar{R^2}_{\Omega,\omega} = R^2_{\Omega,\omega}-\frac{m}{n-k-1} \left(1-R^2_{\Omega,\omega} \right)}

Finalmente, analicemos la relación entre \bar{R^2}_{\Omega,\omega} y F_{\Omega,\omega}. Para ello vamos a basarnos en la relación entre estos dos índices y R^2_{\Omega,\omega}. En efecto, sabemos que:

\displaystyle{R^2 = \frac{m+\left(n-k-1 \right) \bar{R^2}}{m+\left(n-k-1 \right)}}

y que:

\displaystyle{R^2= \frac{mF}{n-k-1+mF}}

Igualando ambas expresiones -y eliminando R^2- tenemos que:

\displaystyle{\frac{mF}{n-k-1+mF} = \frac{m+\left(n-k-1 \right) \bar{R^2}}{m+\left(n-k-1 \right)}}

Despejando \bar{R^2} de la expresión anterior tenemos que:

\displaystyle{\bar{R^2}=\frac{1}{n-k-1} \left[ {\frac{\left( m+n-k-1 \right)mF}{n-k-1+mF}-m} \right]}

Es decir,

\displaystyle{\bar{R^2} = \frac{\left( m+n-k-1\right) mF - m \left( n-k-1+mF\right)}{\left(n-k-1+mF \right) \left(n-k-1 \right)}}

Deshaciendo los paréntesis del numerador llegamos a que:

\displaystyle{\bar{R^2} = \frac{m \left(F-1 \right) \left(n-k-1 \right)}{\left(n-k-1+mF \right) \left(n-k-1 \right)}}

Es decir:

\displaystyle{\bar{R^2}_{\Omega,\omega}= \frac{m \left(F_{\Omega,\omega}-1 \right)}{n-k-1+m F_{\Omega,\omega}}}

Ahora, partiendo de esta expresión podemos operar para despejar F_{\Omega,\omega}. En efecto:

\displaystyle{\bar{R^2} = \frac{m \left(F-1 \right)}{n-k-1+mF}}

Por tanto:

\displaystyle{\left(n-k-1+mF \right) \bar{R^2}=mF-m}

y

\displaystyle{\left( n-k-1 \right) \bar{R^2}+m = mF \left( 1- \bar{R^2} \right)}

por lo que:

\displaystyle{mF = \frac{m + \left( n-k-1 \right) \bar{R^2}}{1-\bar{R^2}}}

Así que:

\displaystyle{F = \frac{m+ \left( n-k-1 \right) \bar{R^2}}{m \left( 1 -\bar{R^2} \right)}}

y, en definitiva:

\displaystyle{ F_{\Omega,\omega} = \frac{1}{1-\bar{R^2}_{\Omega,\omega}}+\frac{n-k-1}{m} \frac{\bar{R^2}_{\Omega,\omega}}{1-\bar{R^2}_{\Omega,\omega}}}

En resumen, es posible expresar cada uno de los tres índices en función de los otros dos. Las fórmulas que los relacionan son las siguientes:

  • \displaystyle{R^2_{\Omega,\omega} = \frac{m+\left( n-k-1 \right) \bar{R^2}_{\Omega,\omega}}{m+n-k-1}= \frac {m F_{\Omega,\omega}}{n-k-1+m F_{\Omega,\omega}}}
  • \displaystyle{\bar{R^2}_{\Omega,\omega}=R^2_{\Omega,\omega} - \frac{m}{n-k-1} \left( {1-R^2_{\Omega,\omega}} \right)=\frac{m \left( {F_{\Omega,\omega}-1} \right)}{n-k-1+m F_{\Omega,\omega}}}
  • \displaystyle{F_{\Omega,\omega} = \frac{n-k-1}{m} \frac{R^2_{\Omega,\omega}}{1-R^2_{\Omega,\omega}}=\frac{1}{1-\bar{R^2}_{\Omega,\omega}} + \frac{n-k-1}{m} \frac{\bar{R^2}_{\Omega,\omega}}{1-\bar{R^2}_{\Omega,\omega}}}

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Un comentario »

  1. Contraste acerca de la calidad global del modelo de regresión ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    8 de 8 de 2008 @ 5:00 pm

    [...] diversas fórmulas para expresar cada uno de estos índices en función de los [...]

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