Si una matriz es simétrica su inversa también lo es

27 de Octubre de 2008 · Imprimir Imprimir

Antes de demostrar esta propiedad de las matrices simétricas vamos a probar que la inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa, es decir, que es lo mismo primero trasponer y luego invertir una matriz que primero invertirla y luego trasponerla.

Debemos probar que (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t. Para ello partimos de que A A^{-1} = I y que, en consecuencia (A^{-1})^t A^t = I. Si suponemos que (A^{-1})^t \ne (A^t)^{-1} resulta, por la unicidad de la matriz inversa que (A^t)^{-1} A^t \ne I lo cual es absurdo, de donde se deduce que (A^{-1})^t = (A^t)^{-1}

Con este lema previo es muy fácil demostrar que si una matriz es simétrica su inversa también lo es. En efecto, supongamos que la matriz A es simétrica. Esto implica que A^t=A. Si ahora consideramos la matriz inversa de A, A^{-1} tendremos que la traspuesta de esta inversa será (A^{-1})^t = (A^t)^{-1}=A^{-1}, con lo que queda demostrado que la inversa también es simétrica.

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4 comentarios »

  1. Las hipótesis de Gauss-Markov ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    29 de 29 de 2008 @ 5:12 am

    [...] como la inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa y, por otra parte, la matriz es [...]

  2. buhorojo ha dicho,

    19 de 19 de 2009 @ 4:41 pm

    Hola podrias ayudarme con esto. Todo se reeduce a que deberia hacer para demostrar que el reusltado de un productode matrices es una matriz simetrica:
    A=X(X’X)-1R’[R(X'X)-1R']-1R(X’X)-1X’
    -1, SIGINIFICA INVERSA

    LAS DIMENSIONES SON X:n*m ; Y:r*m

    Pues si el resultado es que A es dedimensión n*n

    tambien generalizando un ejemplo que me puse es que X’X es simetrica y por lo que tudices (X’X)-1 tambien lo es .

    Lo que no entiendo, y esto es lo que concluye la solución ejercicios de econometria 1 , aznar; concluye que A es simetrica.
    Podrias darme unas pautas para llegar a esa conclusion o que propiedad adicional deberia conocer para demostar que A es simetrica

  3. Juanjo ha dicho,

    20 de 20 de 2009 @ 2:17 am

    Hola:

    Veo que estás estudiando temas de restricciones lineales en la regresión múltiple, ¿no?

    Para demostrar que la matriz que te proponen es simétrica debes tener en cuenta tres cosas:

    - Si H es una matriz simétrica la traspuesta de H es igual a H.
    - Si una matriz es simétrica su inversa también lo es. Para demostrar esto basta darse cuenta de que la inversa de la traspuesta de una matriz coincide con la traspuesta de la inversa de esa matriz.
    - Que (ABC)’ = C’B'A’, es decir que la traspuesta de un producto es el producto de traspuestas pero cambiando el orden.

    Si aplicas estas reglas a la matriz que te proponen verás que al calcular su traspuesta el resultado coincide con la matriz original por lo que has demostrado que es simétrica.

    Espero que te sirva.

    Saludos

  4. francisco ha dicho,

    27 de 27 de 2009 @ 6:35 pm

    También se puede ver con la adjunta: (Adj(A))ij=(-1)^(i+j)*det(A(i|j))
    donde A(i|j) es la que resulta de sacarle la fila i y col j. como el determinante es invariante por transponer, es det(A(i|j))=det(A(i|j))t=det(At(j|i))=det(A(j|i)) por ser At=A
    Por lo tanto es (Adj(A))ij=(-1)^(i+j)*det(A(i|j))=(-1)^(i+j)*det(A(j|i))=(Adj(A))ji de donde la adjunta es simétrica. Recordando que la inversa es la adjunta por la inversa del determinante, resulta lo buscado.

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