Si una matriz invertible es semidefinida positiva entonces es definida positiva y su inversa también

13 de Noviembre de 2008 · Imprimir Imprimir

Este post se dedica a la comprobación de un lema auxiliar que aparecerá posteriormente en la demostración de algún otro teorema.

El enunciado es el siguiente:

Sea A una matriz invertible y semidefinida positiva. Entonces A y A^{-1} son definidas positivas.

En efecto, sea A una matriz invertible y semidefinida positiva. Una condición necesaria y suficiente -utilizada por algunos autores como definición- para que A sea semidefinida positiva es que todos sus valores propios sean no negativos. Además, por ser invertible, ninguno de sus valores propios puede ser nulo por lo que se deduce que A es definida positiva -al ser todos sus valores propios positivos-. La recíproca es también cierta en el sentido de que toda matriz definida positiva es invertible -ninguno de sus valores propios es nulo, lo que es condición necesaria y suficiente para que la matriz sea singular- y, evidentemente, es semidefinida positiva. Por tanto, invertible y semidefinida positiva es equivalente a definida positiva.

En cuanto a la matriz inversa, si \lambda es un valor propio de A asociado al vector propio v tendremos que:

Av= \lambda v

Ahora, premultiplicando ambos miembros por la inversa de A:

A^{-1} A v= A^{-1} \lambda v= \lambda A^{-1} v

De aquí se deduce que:

v= \lambda A^{-1} v

es decir, que:

A^{-1} v = \frac{1}{\lambda} v

En otras palabras, \frac{1}{\lambda} es valor propio de A^{-1} asociado al vector propio v y, por tanto, si \lambda es valor propio de A entonces \frac{1}{\lambda} es valor propio de A^{-1}.

Como todos los valores propios de A son positivos entonces todos los valores propios de A^{-1} son positivos y A^{-1} es una matriz definida positiva.

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5 comentarios »

  1. ¿Y qué ocurre con la suma de cuadrados de los residuos… ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    18 de 18 de 2008 @ 2:54 pm

    [...] matriz es semidefinida positiva y, por tanto, también lo son las matrices , y -son, de hecho, definidas [...]

  2. buhorojo ha dicho,

    7 de 7 de 2009 @ 2:39 pm

    Sobre el teorema de Gauss Markov.
    Revisando el libro Econometric de Green, observo que la estrategia de demostarción se reduce a “la parte es menor que el todo”
    Var(B cualquiera)= Var(B mco) + (cte)*(D´D), Hay que demostrar que estos 2 sumandos son semidefinidos positivos.
    Bueno la cte es positiva porque esta elevado al cuadrado.
    El problema es Var(B mco) que es igualb a (cte)*INV(x’x).
    No se si habrá algún teorema o propiedad pero generalizando x’x si contiene elementos negativos el producto por si mismo (que es en buena cuenta X’X)hará que todos los elementos de X’X sean positivos, por lo que X’X siempre será semedefinida positiva.
    Ahora con lo que señelas en tus post si x’x es semidefinida positiva su inversa también lo es, luego var(Bmco) es semidefinida positiva.
    ASi pues queda demostrado que Var(Bmco) necesita sumar una matriz adicional para equipararse a Var(B cualquiera).

    Ahora con respecto al segundo sumando, también por lo anterior D al multiplicarse por si mismo (D’D)garantiza que todos sus elementos sean postivos, lo que garantiza que D’D sea semidefinida positiva.
    En general podríamos concluir que cualquier expresión de la forma k’k es siempre definida positiva.
    Ojala que tengas tiempo para comentar esta demostración, en general el libro de green es muy completo pero me parece que se vuelvo un poco obscuro en sus demostraciones.

    Saludos

  3. naomyst ha dicho,

    17 de 17 de 2009 @ 6:25 am

    como serian los valores propios de una matriz, para que esta sea invertible, es decir como puedo demostrar que una matriz es invertible si y solo si el producto de los valores propios de la matriz son distinto de cero

  4. naomyst ha dicho,

    17 de 17 de 2009 @ 6:25 am

    como serian los valores propios de una matriz, para que esta sea invertible, es decir como puedo demostrar que una matriz es invertible si y solo si el producto de los valores propios de la matriz son distinto de cero

    por favor lo necesito urgente
    gracias

  5. Juanjo ha dicho,

    17 de 17 de 2009 @ 10:37 am

    Hola:

    Considera la matriz cuadrada A. Si hay algún valor propio nulo ocurrira que existe un vector v no nulo tal que Av=0, es decir, existe una combinación lineal de las columnas de la matriz con coeficientes no nulos que es igual a 0 por lo que las columnas son linealmente dependientes y el rango de la matriz no coincide con el número de columnas por lo que la matriz no es invertible.

    Espero que te sirva.

    Un saludo

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