Todas las matrices simétricas e idempotentes son semidefinidas positivas

26 de Octubre de 2008 · Imprimir Imprimir

Hemos comentado en algún post anterior -aunque sin demostrarlo- que cualquier matriz de la forma A^t A es semidefinida positiva. Pues bien, si aceptamos tal afirmación, el siguiente teorema es de demostración muy simple:

Teorema: Sea A una matriz simétrica e idempotente. Entonces A es semidefinida positiva.

Demostración: Por ser A simétrica tenemos que A^t=A y por ser idempotente tenemos que A = A A, pero como A^t=A tenemos que A = A^t A por lo que la matriz es de la forma A^t A y podemos afirmar que es semidefinida positiva.

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2 comentarios »

  1. El teorema de Gauss-Markov ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    29 de 29 de 2008 @ 8:17 am

    [...] explicativas -y la columna de unos-. Recuérdese que esta matriz es simétrica e idempotente y, por tanto, semidefinida [...]

  2. Comparación de modelos en regresión lineal múltiple ‹ Análisis y comunicación de datos cuantitativos ha dicho,

    20 de 20 de 2008 @ 6:57 am

    [...] ser simétrica e idempotente es semidefinida positiva, y por tanto . De aquí se deduce [...]

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