Análisis y comunicación de datos cuantitativos

En este post presentaremos los conceptos de vector y matriz aleatoria y estudiaremos algunas de sus características básicas, en particular, analizaremos el valor esperado de una matriz aleatoria y la matriz de covarianzas de un vector aleatorio.

El concepto básico es el de variable aleatoria. A pesar de que se puede dar una definición formal de variable aleatoria -como una función medible definida sobre un espacio de probabilidad y que toma valores en un espacio medible- para nuestros propósitos es suficiente una definición más intuitiva. Así, definiremos una variable aleatoria como una función que a cada uno de los posibles resultados de un proceso aleatorio le hace corresponder un valor real y que está acompañada de una distribución de probabilidad, que permite asignar una cierta probabilidad -o una densidad de probabilidad- a cada uno de los posibles valores de la variable aleatoria. Este concepto se puede generalizar sin dificultad al caso de los vectores y de las matrices. Un vector aleatorio será un vector cuyos componentes son variables aleatorias y una matriz aleatoria será una matriz cuyos componentes son variables aleatorias.

Una vez definido el concepto de variable aleatoria el interés reside en el cálculo de unos índices o medidas resumen que, de forma sintética, nos permiten hacernos una idea del comportamiento de dicha variable. Entre estos índices quizás los más conocidos sean la media -también conocida como valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria- y la varianza.

Esto mismo ocurre en el caso de encontrarnos con un vector o con una matriz aleatoria. En efecto, sea una matriz aleatoria de orden (m,n). Se define el valor esperado de la matriz del siguiente modo:

De este definición se deduce fácilmente que si e son dos matrices aleatorias , una matriz constante y un escalar:

A partir del hecho de que todo vector es una matriz es inmediata la definición del valor esperado de un vector aleatorio. En efecto, si es un vector aleatorio:

entonces el valor esperado del vector será:

Dado un vector aleatorio de orden (m,1) se define la matriz de covarianzas de y se designa por a la siguiente matriz:

Teniendo en cuenta que:

podemos expresar la matriz de la siguiente forma forma:

o de manera equivalente:

A partir de esta definición es sumamente sencillo comprobar que si es un vector aleatorio, es un vector constante, es un escalar y es una matriz constante entonces se verifican las siguientes igualdades: